Как умножать легко: Как быстро умножать числа без калькулятора

Содержание

Как быстро умножать числа без калькулятора

Не любишь математику? Ты просто не умеешь ею пользоваться! На самом деле, это увлекательная наука. И наша подборка необычных методов умножения подтверждает это.

Умножай на пальцах, как купец

Этот метод позволяет умножать числа от 6 до 9. Для начала согни обе руки в кулаки. Затем на левой руке отогни столько пальцев, на сколько первый множитель больше числа 5. На правой проделай то же самое для второго множителя. Посчитай количество разогнутых пальцев и умножь сумму на десять. А теперь перемножь сумму загнутых пальцев левой и правой руки. Сложив обе суммы, получишь результат.

Пример. Умножим 6 на 7. Шесть больше пяти на один, значит на левой руке отгибаем один палец. А семь – на два, значит на правой – два пальца. В сумме – это три, а после умножения на 10 – 30. Теперь перемножим четыре загнутых пальца левой руки и три – правой. Получим 12. Сумма 30 и 12 даст 42.

Вообще-то здесь речь идет о простой таблице умножения, которую хорошо бы знать наизусть. Но этот метод хорош для самопроверки, да и пальцы размять полезно.

Умножай, как Ферроль

Этот способ получил название по фамилии немецкого инженера, который им пользовался. Метод позволяет быстро перемножить числа от 10 до 20. Если потренируешься, то сможешь делать это даже в уме.

Суть простая. В итоге всегда будет получаться трехзначное число. Так что сначала считаем единицы, потом – десятки, затем – сотни.

Пример. Умножим 17 на 16. Чтобы получить единицы, умножаем 7 на 6, десятки – складываем произведение 1 и 6 с произведением 7 и 1, сотни – умножаем 1 на 1. В итоге получим 42, 13 и 1. Для удобства запишем их в столбик и сложим. Вот и итог!

Умножай, как японец

Этот графический способ, которым пользуются японские школьники, позволяет легко перемножить двух- и даже трехзначные числа. Чтобы опробовать его, приготовь бумагу и ручку.

Пример. Умножим 32 на 143. Для этого нарисуем сетку: первое число отразим тремя и двумя линиями с отступом по горизонтали, а второе – одной, четырьмя и тремя линиями по вертикали. В местах пересечения линий поставим точки. В итоге у нас должно получиться четырехзначное число, поэтому условно разделим таблицу на 4 сектора. И пересчитаем точки, попавшие в каждый из них. Получаем 3, 14, 17 и 6. Чтобы получить ответ, лишние единички у 14 и 17 прибавим к предыдущему числу. Получим 4, 5 и 76 – 4576.

Умножай, как итальянец

Еще один интересный графический способ используется в Италии. Пожалуй, он проще японского: точно не запутаешься при переносе десятков. Чтобы перемножить большие числа с его помощью, нужно начертить сетку. По горизонтали сверху записываем первый множитель, а по вертикали справа – второй. При этом на каждую цифру должна приходиться одна клетка.

Теперь перемножим цифры каждого ряда на цифры каждой колонки. Результат запишем в клетку (разделенную надвое) на их пересечении. Если получилось однозначное число, то в верхнюю часть клетки пишем 0, а в нижнюю – полученный результат.

Осталось сложить все числа, оказавшиеся в диагональных полосках. Начинаем с нижней правой клетки. Десятки при этом прибавляем к единицам в соседнем столбике.

Вот как мы умножили 639 на 12.

Весело, правда? Нескучной тебе математики! И помни, что гуманитарии в ИТ тоже нужны!

Как быстро умножать двузначные числа в уме?

Умение мгновенно считать в уме может стать бесценным подспорьем в работе и в условиях скоростных темпов жизни современного человека.

Как быстро умножать большие числа, как овладеть такими полезными навыками? У большинства вызывает затруднения устное перемножение двузначных чисел на однозначные. А о сложных арифметических расчетах и говорить нечего. Но при желании способности, заложенные в каждом человеке, можно развить. Регулярные тренировки, немного усилий и применение, разработанных учеными, эффективных методик позволят достичь потрясающих результатов.

Выбираем традиционные методы

Проверенные десятилетиями способы перемножения двузначных чисел не теряют своей актуальности. Простейшие приемы помогают миллионам обычных школьников, учащихся специализированных ВУЗов и лицеев, а также людям, занимающимся саморазвитием, усовершенствовать вычислительное мастерство.

Умножение с помощью разложения чисел

Наиболее легким способом, как быстро научиться умножать большие числа в уме, является перемножение десятков и единиц. Сначала умножаются десятки двух чисел, затем поочередно единицы и десятки. Четыре полученных числа суммируются. Для использования этого метода важно уметь запоминать результаты перемножения и складывать их в уме.

Например, для умножения 38 на 57 необходимо:

  • разложить число на (30+8)*(50+7);
  • 30*50 = 1500 – запомнить результат;
  • 30*7 + 50*8 = 210 + 400 = 610 – запомнить;
  • (1500 + 610) + 8*7 = 2110 + 56 = 2166

Естественно, необходимо отлично знать таблицу умножения, так как быстро умножать в уме этим способом не удастся без соответствующих умений.

Умножение в столбик в уме

Визуальное представление привычного перемножения в столбик многие используют при расчетах. Этот метод подойдет тем, кто умеет надолго запоминать вспомогательные числа и выполнять с ними арифметические действия. Но процесс значительно упрощается, если вы научились, как быстро умножать двузначные числа на однозначные. Для перемножения, например, 47*81 нужно:

  • 47*1 = 47 – запомнить;
  • 47*8 = 376 – запоминаем;
  • 376*10 + 47 = 3807.

Запоминать промежуточные результаты поможет проговаривание их вслух с одновременным суммированием в уме. Несмотря на сложность мысленных вычислений, после непродолжительных тренировок этот метод станет вашим любимым.

Приведенные выше способы умножения универсальны. Но знание более эффективных алгоритмов для некоторых чисел намного сократит количество расчетов.

Умножение на 11

Это, пожалуй, самый простой способ, который используется для умножения любых двузначных чисел на 11.

Достаточно между цифрами множителя вставить их сумму:
13*11 = 1(1+3)3 = 143

Если в скобках получается число больше 10, то к первой цифре добавляется единица, а из суммы в скобках вычитается 10.
28*11 = 2 (2+8) 8 = 308

Умножение больших чисел

Очень удобно перемножать числа, близкие к 100 разложением их на составляющие. Например, необходимо умножить 87 на 91.

  • Каждое число необходимо представить как разницу 100 и еще одного числа:
    (100 — 13)*(100 — 9)
    Ответ будет состоять из четырех цифр, две первые из которых – разница первого множителя и вычитаемого из второй скобки или наоборот – разница второго множителя и вычитаемого из первой скобки.
    87 – 9 = 78
    91 – 13 = 78
  • Вторые две цифры ответа — результат перемножения вычитаемых из двух скобок.13*9 = 144
  • В результате получаются числа 78 и 144. Если при записывании окончательного результата получается число из 5 цифр вторую и третью цифру суммируем. Результат: 87*91 = 7944.

Это самые простые способы перемножения. После многократного их применения, доведения вычислений до автоматизма можно осваивать более сложные техники. И через некоторое время проблема, как быстро умножить двузначные числа перестанет вас волновать, а память и логика существенно улучшатся.

Урок 3. Традиционное умножение в уме

Давайте рассмотрим, как можно умножать двузначные числа, используя традиционные методы, которым нас обучают в школе. Некоторые из этих методов, могут позволить вам быстро перемножать в уме двузначные числа при достаточной тренировке. Знать эти методы полезно. Однако важно понимать, что это лишь вершина айсберга.

В данном уроке рассмотрены наиболее популярные приемы умножения двузначных чисел.

Первый способ – раскладка на десятки и единицы

Самым простым для понимания способом умножения двузначных чисел является тот, которому нас научили в школе. Он заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.

Например: 63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 + 3*5=4800+300+240+15=5355

Проще такие примеры решаются в 3 действия. Сначала умножаются десятки друг на друга. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки. Затем прибавляется произведение единиц. Схематично это можно описать так:

  • Первое действие: 60*80 = 4800 — запоминаем
  • Второе действие: 60*5+3*80 = 540 – запоминаем
  • Третье действие: (4800+540)+3*5= 5355 – ответ

Для максимально быстрого эффекта потребуется хорошее знание таблицы умножения чисел до 10, умение складывать числа (до трехзначных), а также способность быстро переключать внимание с одного действия на другое, держа предыдущий результат в уме. Последний навык удобно тренировать путем визуализации совершаемых арифметических операций, когда вы должны представлять себе картинку вашего решения, а также промежуточные результаты.

Вывод. Не трудно убедиться в том, что этот способ не является самым эффективным, то есть позволяющим при наименьших действиях получить правильный результат. Следует принять во внимание другие способы.

Второй способ – арифметические подгонки

Приведение примера к удобному виду является достаточно распространенным способом счета в уме. Подгонять пример удобно, когда вам нужно быстро найти примерный или точный ответ. Желание подгонять примеры под определенные математические закономерности часто воспитывается на математических кафедрах в университетах или в школах в классах с математическим уклоном. Людей учат находить простые и удобные алгоритмы решения различных задач. Вот некоторые примеры подгонки:

Пример 49*49 может решаться так: (49*100)/2-49. Сначала считается 49 на сто – 4900. Затем 4900 делится на 2, что равняется 2450, затем вычитается 49. Итого 2401.

Произведение 56*92 решается так: 56*100-56*2*2*2. Получается: 56*2= 112*2=224*2=448. Из 5600 вычитаем 448, получаем 5152.

Этот способ может оказаться эффективнее предыдущего только в случае, если вы владеете устным счетом на базе перемножения двузначных чисел на однозначные и можете держать в уме одновременно несколько результатов. К тому же приходится тратить время на поиск алгоритма решения, а также уходит много внимания за правильным соблюдением этого алгоритма.

Вывод. Способ, когда вы стараетесь умножить 2 числа, раскладывая их на более простые арифметические процедуры, отлично тренирует ваши мозги, но связан с большими мысленными затратами, а риск получить неправильный результат выше, чем при первом методе.

Третий способ — мысленная визуализация умножения в столбик

56*67 – посчитаем в столбик.

Наверное, счет столбиком содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме вспомогательные числа. Но его можно упростить. Во втором уроке рассказывалось, что важно уметь быстро умножать однозначные числа на двузначные. Если вы уже умеете это делать на автомате, то счет в столбик в уме для вас будет не таким уж и трудным. Алгоритм таков

Первое действие: 56*7 = 350+42=392 – запомните и не забывайте до третьего действия.

Второе действие: 56*6=300+36=336 (ну или 392-56)

Третье действие: 336*10+392=3360+392=3 752 – тут посложнее, но вы можете начинать называть первое число, в котором уверены – «три тысячи…», а пока говорите, складывайте 360 и 392.

Вывод: счет в столбик напрямую сложен, но вы можете, при наличии навыка быстрого умножения двузначных чисел на однозначные, его упросить. Добавьте в свой арсенал и этот метод. В упрощенном виде счет в столбик является некоторой модификацией первого метода. Что лучше – вопрос на любителя.

Как можно заметить, ни один из описанных выше способов не позволяет считать в уме достаточно быстро и точно все примеры умножения двузначных чисел. Нужно понимать, что использование традиционных способов умножения для счета в уме не всегда является рациональным, то есть позволяющим при наименьших усилиях достигать максимального результата.

Евгений Буянов

Урок 6. Умножение в уме любых чисел до 100

Чтобы умножать любые числа до 100 в уме важно быстро подобрать нужный алгоритм. Для удобства этого подбора в данном уроке выделены наиболее удобные случаи для каждой методики умножения.

Описанные выше методики можно разделить на универсальные (подходящие для любых чисел) и частные (удобные для конкретных случаев).

Универсальные методики

Применимость универсальных методик умножения чисел до 100 такова:

Использование одного опорного числа (Урок 5):

  • все числа в диапазонах до 30, 40-60, 85-100 – если оба множителя рядом с опорным числом.
    Например: 13*17, 18*23, 29*22, 53*61, 88*97 и т.д.

     
  • если одно число очень близко к удобному опорному (+/- 3 от 10, 20, 50, 100), второе может быть любым.
    Например: 21*67 (21 близко к 20), 48*33 (48 близко к 50), 98*32 (98 близко к 100)

Использование двух опорных чисел (Урок 5):

  • Если одно опорное число является кратным другому и если одно из опорных чисел является удобным (10, 20, 50, 100)
    Например: 98*24, 12*44, 43*103, 23*62

Иные числа удобно умножать традиционными методами из третьего урока, когда разряды десятков и единиц не очень большие (Урок 3). Кроме того, традиционный метод удобен, когда вы не знаете, какой другой метод вам применить.

  • Например: 42*32 = 12 (2*4+3*2) 4 = 1344

Частные методики

Также полезно помнить о частных методиках, существенно упрощающих решение некоторых примеров:

Умножение на 10, 20, 25, 50 – должно осуществляться практически на автомате (Урок 2):

  • Например: 88*25 = 2200 (деление на 4)

Умножение на 11 всегда по методике из урока 4

  • Например: 57*11= 5 (5+7) 7 = 627

Числа, заканчивающиеся на 5 удобно возводить в квадрат по методу из четвёртого урока

  • Например: 65*65 = (6*7)25 = 4 225

Любые числа удобно возводить в квадрат используя формулы сокращенного умножения четверного урока

  • Например: 69*69 = (70-1)2 = 702 – 70*2*1 + 12 = 4 900-140+1 = 4 761

Теперь, вы имеете серьезный алгоритмический аппарат для решения примеров на умножение чисел до 100. Кроме того, вы уже можете умножать и некоторые примеры с множителями больше 100. Главным фактором, влияющим на вашу способность умножать в уме, в дальнейшем должен стать опыт и тренировка. Пройти тренировку можно ниже.

Тренировка

Если вы хотите прокачать свои умения по теме данного урока, можете использовать следующую игру. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что числа каждый раз разные.

Перед тем как начать игру, рекомендуем зарегистрироваться, чтобы результат был сохранен в вашей истории, и вы смогли бы видеть собственный прогресс.

Евгений Буянов

Хотите легко умножать большие числа? Тогда вам сюда! | Психология Leksa13

Вступление

В школе нас учили умножать столбиком. Это несомненно хорошо, но разве не проще умножать большие (или не очень) числа в уме? Это поможет вам на работе или вы сможете удивить друзей. Конечно, перестроиться будет сложно, но результат будет того стоить.

История создателя

Давайте поговорим немного об истории. Яков Трахтенберг родился 17 июня 1888 году в Одессе. Окончил с отличием Горный Санкт-Петербургский институт. После Великой Октябрьской революции 1917 года сбежал в Германию. С приходом к власти Гитлера выступал против нацизма, и из-за преследования сбежал в Австрию в Вену. После аншлюза Австрии Германией в 1938 году он был арестован, но смог сбежать в Югославию, где был еще раз арестован, когда немцы оккупировали эту страну. Просидел в нацистских тюрьмах и концентрационных лагерях около 5 лет во время Второй мировой войны. В заключении разработал арифметическую систему, так называемый метод Трахтенберга. Разрабатывал он ее для того, что бы не сойти с ума. Когда его собирались казнить, то с помощью жены в 1945 году он бежал в Швейцарию, где продолжил разработку этого метода. В общем, он скрывался от преследователей большую часть жизни.

Умножение двузначных чисел.

Давайте рассмотрим как умножать большие числа в уме. В уме вы, конечно, не сразу станете считать. Для это надо много тренироваться. Итак, возьмем числа: 74 и 37. Для начала, напишите их на бумаге, а не сразу считайте в голове. Лучше написать их в столбик (между ними лучше оставить 1-2 клеточки).

Берем и умножаем самые правые цифры этого числа. Это 4 и 7 получается 28. 8 пишем, а 2 запоминаем в уме.

Теперь перемножаем цифры «звездочкой» то есть 7 и 7, 4 и 3 (можете нарисовать стрелочки, чтобы было удобнее). У нас получается 49+12.

И не забудем про 2. 49+12+2=63. 3 приписываем слева от 8, а 6 запоминаем.

Теперь умножаем самые левые числа это 7 и 3. Получается 21+6 (6-это число, которое мы запоминали)=27. 7 приписываем слева от 3 и слева от 7 приписываем 2. Получается число 2738.

На словах я сделал много, но в уме это так не будет казаться.

Умножение двузначного числа на трехзначное.

Если вы до конца поняли как умножать двузначные числа, то переходите сюда. Если нет, то очень настоятельно прошу не переходить к этому пункту и к следующему, так как здесь разжевывать я не буду. И если вы не поняли и перешли к этому пункту, то вы можете не закончить обучение.

Итак, давайте возьмем 382 и 46.

Так же умножаем правые числа 6 и 2. Получаем 12. 2 пишем 1 в уме.

Далее наша «звездочка» 6 и 8, 2 и 4. Получается 48+8+1=57. 7 пишем 5 в уме.

Дальше снова «звездочка» только уже числа 8 и 4, 3 и 6 (Не запутайтесь. Соедините линиями те числа, которые умножаются). Получается 32+18+5=55. 5 пишем 5 в уме. И дальше умножаем правые цифры чисел. 3 и 4. Получается 12+5=17. И приписываем 17. Полученное число 17572.

Умножение трехзначных чисел.

Наверняка, уже многие из вас поняли: как дальше уножать, но давайте закрепим умножение трехзначных чисел.

Возьмем 274 и 816. Умножаем 6 и 4. Получается 24. 4 пишем 2 в уме.

Теперь «звездочка» с 2 линиями. 1 и 4, 7 и 6. Получается 4+42+2=48. 8 пишем 4 в уме.

Дальше — самое сложное: у нас пойдет «звездочка» с 3 линиями. Умножаем 4 и 8, 1 и7, 2 и 6. Получается 32+7+12+4=55. 5 пишем 5 в уме.

Далее двойная «звездочка». Это умножение 7 и 8, 2 и 1. Получается 56+2+5=63. 3 пишем 6 в уме.

И последнее — это надо умножить правые цифры чисел 2 и 8. Получается 16+6=22. И приписываем 22. Полученное число 223584.

Заключение

Надеюсь вам понравилось, и вы обучились новой технологии умножения. Если вы пока можете только на листочке, то не переживайте, немного тренировок — и вы научитесь умножать быстрее, чем если бы вы умножали столбиком. С вами был Leks13 Удачи и хорошей математики!!!

умножаем большие числа в уме — Блог Викиум

В эру цифровых технологий у нас пропала необходимость запоминать телефоны и адреса, считать в голове. Даже ориентироваться на местности нам помогают гаджеты. Устный счет последний раз мы применяем в школе, а зря. Помимо удобства (ведь вы можете сами быстро все посчитать, не доставая смартфон), умение быстро умножать и делить здорово тренирует мозг. А если мозг не тренировать, он ленится, что приводит к ухудшению всех его функций и нашей продуктивности. Еще до времен повсеместного распространения вычислительных машин люди изобрели несколько лайфхаков устного счета. Рассмотрим их подробнее.

Гаусс — не только распределение

Еще когда будущий «король математиков» и автор закона, названного его именем, Карл Фридрих Гаусс отличался уникальными навыками. По легенде, примерно в возрасте 3 лет он заметил, что платежные ведомости его отца рассчитаны неправильно. После проверки оказалось, что мальчик был прав. В дальнейшем он продемонстрировал феноменальные математические способности. И некоторые лайфхаки устного счета называют тоже его именем.

Достаточно одной таблицы

Чтобы научиться перемножать любые числа, нам необходимо помнить таблицу умножения. Хитрость заключается в том, что любое большое число можно разложить на маленькие — те, что представлены в этой таблице. Суть умножения двух чисел заключается в многократном повторении одного из них. Например, 7 умножить на 3 — означает, что число 7 надо повторить 3 раза: 7+7+7 = 7*3 = 21.

Если перед нами стоит задача умножить однозначное число на многозначное, то достаточно разложить больше на маленькие по разрядам, т.е. сначала сотни, потом десятки, потом единицы. И по очереди их умножить на заданное число. Далее останется сложить эти произведения. Например, 254*7 = 200*7 + 50*7 + 4*7 = 1400 + 350 + 28 = 1778. Как мы видим, каждый разряд представляет собой однозначное число с определенным количеством нулей. Таким образом, нам нужно лишь помнить таблицу умножения, чтобы легко справиться с этой задачей.

Этот же способ применим для умножения двух двузначных чисел — их нужно так же разбить на однозначные и выполнить операцию последовательно. Допустим, наша задача умножить 67 на 43. 43 — это 40 + 3. А значит, 67 нужно умножить сначала на 40, затем на 3, и сложить эти произведения. Далее раскладываем 67 и производим ту же операцию. Получаем: 67*40 + 67*3 = 60*40 + 7*40 + 60*3 + 7*3 = 2400 + 280 + 180 + 21 = 2881.

Одиннадцать друзей умножения

Самый простой и интересный способ умножения двузначного числа — с использованием числа 11. Нужно всего лишь сложить между собой цифры, из которых состоит двузначное число. А по бокам поставить те же самые исходные 2 числа, которые мы складывали. Что получится, если 35 умножить на 11? Складываем 3 + 5 = 8, а по бокам ставим 3 и 5 — 385. Проверяем на калькуляторе. Но что делать, если сумма двух этих чисел больше 10? Куда что ставить? Нужно сделать все ровно так же, только при помощи наложения. Посмотрим на примере 83*11: 8 + 3 = 11. Посередине у нас стоит 11, справа 3, а к первому месту прибавляется 8, итого: 8 + 1 = 9 — это первое число. Далее у нас стояла единица, последней тройка. Собираем: 913. Проверяем. Вуаля!

Лайфхаки не тренировка

Конечно, само слово «лайфхак» подразумевает, что мы используем определенный прием, чтобы меньше напрягать мозг. При таком счете мозг тоже тренируется — ведь нам надо удерживать всю раскладку в голове, да еще и складывать эти элементы. Чтобы быстро выучить эти методики, а также дополнительно поддерживать функции мозга в тонусе, нам нужны полноценные тренировки. Они позволят освоить еще больше лайфхаков, быстро адаптироваться в незнакомых ситуациях и не теряться при виде больших данных.

Викиум разработал более 75 специальных — когнитивных тренажеров. Они развивают базовые (когнитивные) функции мозга комплексно, по запатентованной технологии. Программа составляет вам персональный план тренировок, следит за прогрессом, постепенно повышает нагрузку. Сами тренажеры выглядят как игровые задания с понятным интерфейсом — на них могут заниматься даже дети от 7 лет. В результате регулярных тренировок существенно увеличивается работоспособность мозга и ваша общая продуктивность. Занимайтесь каждый день всего по 10 минут и будьте в тонусе!

Умножение по-японски, или как легко и быстро перемножить числа без калькулятора

Как умножают в японии: Учимся считать с помощью линий.

В век смартфонов-калькуляторов и голосовых помощников умножение больших чисел вручную уже кажется необычным и совершенно ненужным навыком. Но жизнь – непредсказуемая штука: никогда не знаешь, когда понадобится быстро что-то посчитать. И в этом деле идеальным помощником будет японский метод умножения (иногда его называют умножением по строкам). Все, что вам понадобится, – лист бумаги и ручка. Чтобы облегчить задачу, вы можете использовать чернила разных цветов, но это вовсе необязательно.

Давайте рассмотрим, как работает этот метод.

Посчитаем, сколько будет 12 x 13.

Первый шаг – рисуем линии. Один набор линий – для каждой «десятки» и параллельный набор – для разряда «единиц». У вас получится «квадрат», образованный одной линией для «десятков» числа 12 (зеленый цвет) + одной линией для «десятков» числа 13 (зеленый цвет) + двумя линиями для разряда «единиц» числа 12 (черный цвет) + тремя линиями для разряда «единиц» числа 13 (синий цвет). «Десятки» должны всегда располагаться слева, а прямоугольник – быть повернутым на 45 градусов.

После того как вы нанесете на лист все линии, вам останется лишь нарисовать точки в местах пересечения и их подсчитать. В правом углу квадрата получится 6 точек (пересечения двух черных и трех синих линий). Эта цифра будет означать «единицы» в полученном числе, то есть стоять на последнем месте.

В нижнем углу видим 2 точки (пересечения разряда «десятков» числа 13 и двух черных линий). В верхнем углу – 3 точки (пересечение разряда «десятков» числа 12 и трех синих линий). Теперь сложим их вместе. Полученный результат 5 будет представлять разряд «десятков» в итоговом числе.

Наконец, в левом углу получилась 1 точка. В итоговом числе цифра 1 будет представлять разряд «сотен».

Возможно, вам будет удобнее отделять разряды на квадрате изогнутыми вертикальными линиями (как показано на рисунке). В любом случае, поставив каждую цифру на свое место, вы получите: 12 x 13 = 156.

Этот метод работает и с гораздо большими числами. Просто попробуйте!

Вот видеопример как можно посчитать: 31х32, 213 x 13 и 103х23

Обложка: 1Gai.Ru

10 хитростей для быстрого выполнения математических расчетов в голове

Не нужно быть учителем математики, чтобы знать, что многие ученики — и, вероятно, многие родители (это было давно!) — боятся математических задач, особенно если они включают большое количество. Изучение методов быстрого выполнения математики может помочь учащимся развить большую уверенность в математике, улучшить математические навыки и понимание, а также преуспеть в продвинутых курсах.

Получайте релевантные учебные материалы и обновления прямо на ваш почтовый ящик. Подпишитесь сегодня!

Присоединиться

Если это ваша работа — обучать их, вот вам отличный урок.

Быстрые математические приемы инфографики

10 уловок для быстрой математики

Вот 10 быстрых математических стратегий, которые учащиеся (и взрослые!) Могут использовать, чтобы вычислить в уме. Освоив эти стратегии, учащиеся должны иметь возможность точно и уверенно решать математические задачи, которые они когда-то боялись решать.

1. Добавление больших чисел

Сложить в уме большие числа может быть сложно. Этот метод показывает, как упростить этот процесс, сделав все числа кратными 10. Вот пример:

644 + 238

Хотя с этими числами сложно бороться, округление их в большую сторону сделает их более управляемыми. Итак, 644 становится 650, а 238 становится 240.

Теперь сложите 650 и 240 вместе. Итого 890. Чтобы найти ответ на исходное уравнение, необходимо определить, сколько мы прибавили к числам, чтобы округлить их в большую сторону.

650 — 644 = 6 и 240 — 238 = 2

Теперь сложите 6 и 2, чтобы получить 8

Чтобы найти ответ на исходное уравнение, нужно вычесть 8 из 890.

890 — 8 = 882

Итак, ответ на 644 +238 — 882.

2. Вычитаем из 1 000

Вот основное правило вычитания большого числа из 1000: вычтите все числа, кроме последнего, из 9 и вычтите последнее число из 10.

Например:

1 000–556

Шаг 1: вычтем 5 из 9 = 4

Шаг 2: вычтем 5 из 9 = 4

Шаг 3: вычтем 6 из 10 = 4

Ответ — 444.

3. 5-кратное умножение любого числа

Умножив число 5 на четное, можно быстро найти ответ.

Например, 5 x 4 =

  • Шаг 1: Возьмите число, умноженное на 5, и разрежьте его пополам, в результате число 4 станет числом 2.
  • Шаг 2: Добавьте ноль к числу, чтобы найти ответ. В данном случае ответ — 20.

5 х 4 = 20

При умножении нечетного числа на 5 формула немного отличается.

Например, рассмотрим 5 x 3.

  • Шаг 1: вычтите единицу из числа, умноженного на 5, в этом случае число 3 становится числом 2.
  • Шаг 2: Теперь уменьшите число 2 вдвое, и оно станет числом 1. Сделайте 5 последней цифрой. Произведенное число — 15, и это и есть ответ.

5 x 3 = 15

4. Деление трюков

Вот быстрый способ узнать, когда число можно без остатка разделить на следующие числа:

  • 10, если номер заканчивается на 0
  • 9, когда цифры складываются и сумма делится на 9
  • без остатка.

  • 8, если последние три цифры делятся на 8 без остатка или равны 000
  • 6, если это четное число, и когда цифры складываются, ответ делится без остатка на 3
  • 5, если он заканчивается на 0 или 5
  • 4, если оно заканчивается на 00 или двузначное число, которое делится на 4 без остатка.
  • 3, когда цифры складываются и результат делится без остатка на 3
  • 2, если он заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8

5.

Умножение на 9

Это простой метод, который помогает умножить любое число на 9. Вот как это работает:

Давайте возьмем пример 9 x 3.

Шаг 1 : Вычтите 1 из числа, которое умножается на 9.

3 — 1 = 2

Число 2 — это первое число в ответе на уравнение.

Шаг 2 : Вычтите это число из числа 9.

9–2 = 7

Число 7 — второе число в ответе на уравнение.

Итак, 9 x 3 = 27

6. 10 и 11-кратные фокусы

Уловка для умножения любого числа на 10 состоит в том, чтобы добавить ноль в конец числа. Например, 62 x 10 = 620.

Существует также простой способ умножить любое двузначное число на 11. Вот оно:

11 х 25

Возьмите исходное двузначное число и поставьте между цифрами пробел. В этом примере это число 25.

2_5

Теперь сложите эти два числа и поместите результат в центр:

2_ (2 + 5) _5

2_7_5

Ответ на 11 x 25 — 275.

Если числа в центре складываются в число из двух цифр, вставьте второе число и прибавьте 1 к первому. Вот пример уравнения 11 x 88

8_ (8 +8) _8

(8 + 1) _6_8

9_6_8

Есть ответ на 11 x 88: 968

7. В процентах

Найти процентное значение числа может быть довольно сложно, но правильное понимание этого числа значительно упрощает понимание. Например, чтобы узнать, что составляет 5% от 235, воспользуйтесь этим методом:

  • Шаг 1: Переместите десятичную запятую на одну позицию, 235 станет 23.5.
  • Шаг 2: Разделите 23,5 на число 2, получится 11,75. Это также ответ на исходное уравнение.

8. Быстро возведите в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5


Давайте возьмем число 35 в качестве примера.

  • Шаг 1. Умножьте первую цифру на себя плюс 1.
  • Шаг 2: Поставьте 25 в конце.

35 в квадрате = [3 x (3 + 1)] & 25

[3 x (3 + 1)] = 12

12 и 25 = 1225

35 в квадрате = 1225

9.

Сложное умножение

При умножении больших чисел, если одно из чисел четное, разделите первое число пополам, а затем удвойте второе число. Этот метод быстро решит проблему. Например, рассмотрим

20 х 120

Шаг 1: разделите 20 на 2, получится 10. Удвойте 120, что равно 240.

Затем умножьте свои два ответа вместе.

10 х 240 = 2400

Ответ на 20 x 120 — 2400.

10. Умножение чисел, оканчивающихся на ноль

Умножение чисел, оканчивающихся на ноль, на самом деле довольно просто.Это включает в себя умножение других чисел вместе, а затем добавление нулей в конце. Например, рассмотрим:

200 х 400

Шаг 1: Умножьте 2 на 4

2 х 4 = 8

Шаг 2: Поместите все четыре нуля после 8

80 000

200 x 400 = 80 000

Выполнение этих быстрых математических приемов может помочь как ученикам, так и учителям улучшить свои математические навыки и укрепить свои знания математики — и не бояться работать с числами в будущем.

Присоединяйтесь к Resilient Educator

Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать контент на свой почтовый ящик. Щелкните или коснитесь кнопки ниже.

Присоединяйтесь к Resilient Educator

Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать контент на свой почтовый ящик.Щелкните или коснитесь кнопки ниже.

Присоединиться

Возможно, вы прочитаете

Теги: Математика и естественные науки, Математика

5 советов по ускорению умственного умножения

Теперь, когда мы изучили основы молниеносного умственного сложения, умственного вычитания и умственного умножения, пора обратить наше внимание на несколько советов, которые помогут вам поднять свои навыки на новый уровень.

Сегодня мы собираемся начать с изучения 5 советов, которые помогут вам быстро умножать числа в своей голове и стать волшебником умственной математики в своей семье.

Совет №1: Умножение на 5 степеней
Бывают моменты в жизни, когда просто везет. Оказывается, один из тех счастливых моментов случается каждый раз, когда вам нужно умножить одно число на другое, которое оказывается степенью 5. Например, скажем, вам нужно найти 36 x 5 (что, конечно, , отвечает всем требованиям, поскольку 5 — это первая степень числа 5).2 это конечно. Так как же это работает в этом случае? Уловка здесь состоит в том, чтобы распознать, что 25 = 100/4. И вообще, уловка со степенями 5 состоит в том, чтобы распознать, что они всегда кратны 10, деленному на целое число. Это говорит нам, что 36 x 25 = 36 x 100/4. Поскольку мы можем быстро вычислить, что 36 x 100 = 3600, легко найти, что 36 x 25 = 3600/4 = 900.

Совет № 2: возведение чисел в квадрат, заканчивающиеся на 5
На этом наше веселье с пятерками не заканчивается. Мы уже говорили о том, как возводить числа в квадрат в уме раньше, но оказалось, что все становится намного проще, если возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.Вот уловка: каждый раз, когда вы возводите в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5, последние цифры ответа будут 25, а цифры перед ним даются путем умножения первой цифры числа на число, которое на единицу больше.

> Продолжайте читать на QuickAndDirtyTips.com

5 приемов для более быстрого умственного умножения

Теперь, когда мы изучили основы молниеносного умственного сложения, умственного вычитания и умственного умножения, пришло время обратить наше внимание на несколько советов, которые помогут поможет вам поднять свои навыки на новый уровень.

Сегодня мы собираемся начать с изучения 5 советов, которые помогут вам быстро умножать числа в своей голове и стать волшебником мысленной математики в своей семье.

  1. Как умножить на 5
  2. Как возводить в квадрат числа, заканчивающиеся на 5
  3. Как легко умножить девятки
  4. Как умножить на 2
  5. Как быстро удвоить и сократить вдвое числа

Купить сейчас

Как партнер Amazon и книжный магазин. org, QDT зарабатывает на соответствующих покупках.

Совет №1: Как умножить на 5

Бывают моменты в жизни, когда вам просто везет. Оказывается, один из тех счастливых моментов случается каждый раз, когда вам нужно умножить одно число на другое, которое оказывается степенью 5. Например, скажем, вам нужно найти 36 x 5 (что, конечно, , отвечает всем требованиям, поскольку 5 — это первая степень числа 5). Уловка состоит в том, чтобы признать тот факт, что 5 = 10/2.2 это конечно. Так как же это работает в этом случае? Уловка здесь состоит в том, чтобы распознать, что 25 = 100/4. И вообще, уловка со степенями 5 состоит в том, чтобы распознать, что они всегда кратны 10, деленному на целое число. Это говорит нам, что 36 x 25 = 36 x 100/4. Поскольку мы можем быстро вычислить, что 36 x 100 = 3600, легко найти, что 36 x 25 = 3600/4 = 900.

Совет № 2: как возводить в квадрат числа, заканчивающиеся на 5

На этом наше веселье с пятерками не заканчивается. Мы уже говорили о том, как возводить числа в квадрат в уме раньше, но оказалось, что все становится намного проще, если возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.2 = 5625. Быстро и просто!

Совет № 3: как легко умножить партии девяток

Третий трюк на сегодня связан с умножением любого числа на 9, 99, 999 или любое другое число, которое на 1 меньше степени 10. Что делает все эти дикие 9 чисел особенными? В задаче типа 44 x 9 хитрость заключается в том, чтобы распознать, что 44 x 9 = 44 x (10 — 1). Распределительное свойство умножения говорит нам, что это то же самое, что и 44 x 10–44. А поскольку умножить на степень 10 легко, такой взгляд на задачу значительно упрощает ее решение.В частности, он говорит нам, что 44 x 9 = 44 x 10 — 44 = 440 — 44 = 440 — 40 — 4 = 396 (зоркие любители математики могут заметить здесь уловку, связанную с советами по мысленному вычитанию из предыдущих).

Если мы вместо этого пытаемся решить 44 x 99, уловка состоит в том, чтобы распознать, что это то же самое, что 44 x (100 — 1) = (44 x 100) — 44. Другими словами, в любое время, когда вы умножая на одно из этих чисел, состоящих из девяток, фокус состоит в том, чтобы знать, что вы можете просто умножить другое число на следующую более высокую степень 10, а затем вычесть исходное число.Попробуйте, и вы увидите, насколько это быстрее.

Если вы пытаетесь решить 44 x 99, уловка состоит в том, чтобы распознать, что это то же самое, что 44 x (100 — 1) = (44 x 100) — 44.

Совет № 4: Как умножить на 2

Вы можете использовать сегодняшний четвертый совет каждый раз, когда вы умножаете одно число на другое число, которое является степенью 2. Это означает, что каждый раз, когда вы умножаете какое-то число на 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. Д. на, это ваш билет к умственному математическому блаженству.3 или 12 x 2 x 2 x 2. Это означает, что мы можем быстро найти ответ, постоянно удваивая 12 три раза. Таким образом, первое удвоение 12 дает 24, второе удвоение приводит нас к 48, а третье удвоение дает 96. Итак, 12 x 8 = 96.

Совет № 5: Как удвоить и уменьшить вдвое, чтобы быстро умножить

Предыдущий трюк на самом деле является лишь частным случаем сегодняшнего пятого и последнего (и я думаю, самого крутого) трюка, который вы можете использовать всякий раз, когда одно из умножаемых вами чисел четное. Допустим, вы умножаете 47 на 24.Поскольку 24 — четное число, давайте воспользуемся идеей удвоения и уменьшения вдвое, чтобы быстро решить эту проблему.

Что я имею в виду под удвоением и уменьшением вдвое? Уловка состоит в том, чтобы постоянно удваивать одно число, а другое уменьшать вдвое. В данном случае это означает, что мы превращаем задачу 47 x 24 в задачу 94 x 12, одновременно удваивая 47 и уменьшая вдвое 24. Затем мы можем сделать то же самое и превратить задачу в 188 x 6 и снова получить 376 x 3. На данный момент мы не можем удваивать и уменьшать вдвое дальше, поэтому нам просто нужно решить оставшуюся — гораздо проще! — задачу умножения, чтобы найти, что 47 x 24 = 376 x 3 = 1,128.

Заключение

Вам определенно понадобится попрактиковаться в этих техниках, чтобы освоиться (и быстро) их использовать, поэтому я настоятельно рекомендую вам придумывать некоторые задачи умножения, над которыми нужно работать. На это потребуется время и силы, но ваши старания непременно будут вознаграждены!

Хорошо, это все математические вычисления, которые у нас есть на сегодня.

Обязательно ознакомьтесь с моей аудиокнигой по мысленной математике под названием The Math Dude’s 5 Tips to Mastering Mental Math . А чтобы узнать больше о математике, загляните в мою книгу The Math Dude’s Quick and Dirty Guide to Algebra .

Не забудьте стать поклонником Math Dude на Facebook, где вы найдете множество замечательных математических публикаций в течение недели. Если вы в Твиттере, подпишитесь и на меня. Наконец, присылайте свои математические вопросы мне через Facebook, Twitter или по электронной почте [email protected] com.

До следующего раза это Джейсон Маршалл с The Math Dude’s Quick and Dude Tips to Make Math easy . Спасибо за чтение, любители математики!

Образ мысленной математики от Shutterstock.

2 простых способа выполнить длинное умножение

Длинное умножение пугает, особенно когда вы умножаете большие числа. Вот два простых способа проделать долгое умножение.

Метод 1: ярлык

Допустим, вы умножаете 425 на 15.

Запишите одно число рядом с другим.

Разделите меньшее число на десятки и единицы. В данном случае это будет 10 и 5.

Умножьте большое число на десятки.В данном случае это 10.

Умножьте большое число на число в единицах. В данном случае это 5. Вы можете даже разбить это число — 400 x 5 = 2000 и 25 x 5 = 125. Если сложить 2000 и 125, получится 2125.

Сложите две суммы: 4250 и 2125. Вы можете сделать это традиционным способом.

Метод 2: стандартное длинное умножение

Запишите большое число над меньшим.Убедитесь, что они выровнены так, чтобы единицы совпадали, десятки — выстраивались, а сотня — слева.

Умножьте число в разряде единиц нижнего числа на число в разряде единиц верхнего числа.

5 x 5 равно 25. Напишите цифру из единиц под линией. В данном случае это 5. И у вас будет 2. Напишите цифру 2 вместо десятков. В данном случае это будет 2.

Умножьте число в разряде единиц нижнего числа на число в разряде десятков верхнего числа.В данном случае это 5 x 2, что равно 10. Сложите перенесенные 2, чтобы получилась сумма 12. Напишите 2 рядом с пятью и перенесите 1 над числом сотен, что составляет 4.

Умножьте число в разряде единиц нижнего числа на число в разряде сотен верхнего числа. Итак, умножьте 5 на 4. И прибавьте 1, который у вас есть, и получится 21.

Теперь пора перейти к столбцу десятков. Сначала напишите ноль в столбце единиц.

Умножьте число в разряде десятков нижнего числа на число в разряде единиц верхнего числа. Умножьте 1 на 5, получится 5.

Умножьте число в разряде десятков нижнего числа на число в разряде десятков верхнего числа. Умножьте 1 на 2, что равно 2.

Умножьте число в разряде десятков нижнего числа на число в разряде сотен верхнего числа.Умножьте 1 на 4, что равно 4.

Отсюда простое дополнение.

Мы нашли более быстрый способ умножения действительно больших чисел

Умножение двух чисел легко, не так ли?

В начальной школе мы учимся выполнять долгое умножение следующим образом:

Долгий путь к умножению.
Дэвид Харви

Подобные методы существуют тысячи лет назад, по крайней мере, у древних шумеров и египтян.

Но действительно ли это лучший способ умножить два больших числа?




Читать далее:
Шесть изображений показывают, как мы «видим» данные и фиксируем невидимую науку.


При длинном умножении мы должны умножить каждую цифру первого числа на каждую цифру второго числа. Если каждое из двух чисел имеет N цифр, это всего N 2 (или N x N ) умножений.В приведенном выше примере N равно 3, и нам пришлось сделать 3 2 = 9 умножений.

Примерно в 1956 году известный советский математик Андрей Колмогоров предположил, что это наилучший способ умножения двух чисел .

Другими словами, независимо от того, как вы устроите свои расчеты, объем работы, который вы должны сделать, будет пропорционален как минимум N 2 . Двойное количество цифр означает , четыре — раз больше работы.

Колмогоров считал, что если бы кратчайший путь был возможен, то наверняка он уже был бы обнаружен. В конце концов, люди умножали числа на протяжении тысячелетий.

Это превосходный пример логической ошибки, известной как «аргумент от незнания».

Более быстрый путь

Всего несколько лет спустя гипотеза Колмогорова оказалась совершенно неверной.

В 1960 году Анатолий Карацуба, 23-летний студент-математик из России, открыл хитрый алгебраический трюк, который сокращает количество необходимых умножений.

Например, для умножения четырехзначных чисел вместо 4 2 = 16 умножений метод Карацубы обходится только девятью. При использовании его метода вдвое большее количество цифр означает только три раз больше работы.

Это дает впечатляющее преимущество по мере того, как числа становятся больше. Для чисел с тысячей цифр метод Карацубы требует примерно в 17 раз меньше умножений, чем длинное умножение.

Но зачем кому-то нужно перемножать такие большие числа вместе?

На самом деле приложений огромное количество. Один из наиболее заметных и экономически значимых — это криптография.

Большие числа в жизни

Каждый раз, когда вы участвуете в зашифрованном общении в Интернете — например, заходите на свой банковский сайт или выполняете поиск в Интернете — ваше устройство выполняет головокружительное число умножений, включая числа с сотнями или даже тысячами цифр.

Скорее всего, ваше устройство использует уловку Карацубы для этой арифметики. Все это часть удивительной программной экосистемы, которая обеспечивает максимально быструю загрузку наших веб-страниц.

Для некоторых более эзотерических приложений математикам приходится иметь дело с еще большими числами, состоящими из миллионов, миллиардов или даже триллионов цифр. Для таких огромных чисел даже алгоритм Карацубы слишком медленный.

Настоящий прорыв произошел в 1971 году с работами немецких математиков Арнольда Шёнхаге и Фолькера Штрассена. Они объяснили, как использовать недавно опубликованное быстрое преобразование Фурье (БПФ) для эффективного умножения огромных чисел. Их метод сегодня регулярно используется математиками для обработки миллиардов цифр.

БПФ — один из важнейших алгоритмов 20 века. Одно приложение, знакомое в повседневной жизни, — это цифровое аудио: всякий раз, когда вы слушаете MP3, музыкальные потоковые сервисы или цифровое радио, FFT обрабатывают аудиодекодирование за кулисами.

Еще более быстрый способ?

В своей статье 1971 года Шёнхаге и Штрассен также сделали поразительную гипотезу. Чтобы объяснить, мне нужно на мгновение остановиться на технических деталях.

Первая половина их гипотезы состоит в том, что должно быть возможно умножить N -значных чисел, используя ряд основных операций, которые пропорциональны не более чем N log ( N ) (это N раз больше натурального числа). логарифм N ).

Их собственный алгоритм не совсем достиг этой цели; они были слишком медленными в логарифмическом масштабе (log N ) (логарифм логарифма N ). Тем не менее, их интуиция заставила их подозревать, что они чего-то упускают, и что N log ( N ) должно быть возможным.

За десятилетия, прошедшие с 1971 года, несколько исследователей нашли улучшения в алгоритме Шёнхаге и Штрассена. Примечательно, что алгоритм, разработанный Мартином Фюрером в 2007 году, очень близко подошел к неуловимому логарифму N ( N ).

Вторая (и гораздо более сложная) часть их гипотезы заключается в том, что N log ( N ) должно быть основным пределом скорости — что ни один из возможных алгоритмов умножения не может работать лучше этого.

Звучит знакомо?

Мы достигли предела?

Несколько недель назад мы с Йорисом ван дер Ховеном опубликовали исследовательскую работу, описывающую новый алгоритм умножения, который, наконец, достигает святого Грааля N ( N ), тем самым решая «легкую» часть гипотезы Шёнхаге-Штрассена .

Статья еще не рецензировалась, поэтому следует соблюдать осторожность. Стандартной практикой в ​​математике является распространение результатов исследований до того, как они пройдут рецензирование.

Вместо использования одномерных БПФ — основного продукта всей работы над этой проблемой с 1971 года — наш алгоритм опирается на многомерных БПФ. В этих гаджетах нет ничего нового: широко используемый формат изображений JPEG зависит от двумерного БПФ, а трехмерное БПФ имеет множество применений в физике и технике.

В нашей статье мы используем БПФ с 1729 измерениями. Это сложно визуализировать, но математически не сложнее, чем в двухмерном случае.

Действительно большие числа

Новый алгоритм не совсем практичен в его нынешнем виде, потому что доказательство, приведенное в нашей статье, работает только для смехотворно больших чисел. Даже если бы каждая цифра была написана на атоме водорода, в наблюдаемой Вселенной не хватило бы места, чтобы записать их.




Читать далее:
Почему нам нужно знать простые числа с миллионами цифр?


С другой стороны, мы надеемся, что при дальнейших усовершенствованиях алгоритм может стать практичным для чисел, состоящих всего из миллиардов или триллионов цифр. В таком случае он вполне может стать незаменимым инструментом в арсенале вычислительной математики.

Если полная гипотеза Шёнхаге – Штрассена верна, то с теоретической точки зрения новый алгоритм — это конец пути — невозможно сделать лучше.

Лично я был бы очень удивлен, если бы предположение оказалось неверным. Но нельзя забывать, что случилось с Колмогоровым. Математика иногда преподносит сюрпризы.

Умножение

может быть таким простым с этим трюком из Японии

В школе математику либо очень любили, либо абсолютно ненавидели. Для большинства из нас все это было греческим, и в наши дни мы счастливы просто ввести числа в калькулятор. Но благодаря этому умному старому трюку из Японии вы можете перемножать большие числа без какой-либо технической помощи.Давайте посмотрим на японское умножение!

1. Основы, с двумя двузначными числами

Для каждого числа нарисуйте на листе бумаги соответствующее количество линий. Начните с первого числа в сумме. Нарисуйте диагональные линии для первой цифры близко друг к другу, оставьте немного места, а затем проведите линии для второй цифры параллельно.

Теперь проведите линии для второго числа, тоже по диагонали, но в противоположном направлении.У вас должна получиться грубая ромбовидная форма с линиями, пересекающимися по углам.

Теперь посчитайте точки пересечения линий и напишите каждое число под ромбиком. Сначала сложите точки в левом углу, затем в двух средних углах, а затем точки встречи в правом углу. Записанные числа при чтении слева направо дают конечный результат умножения.

2. Умножение на два трехзначных числа

Умножая два трехзначных числа, вы, конечно, получаете больше точек пересечения.Но принцип здесь тот же, что и раньше. Сначала сложите вместе все точки пересечения в левом углу, а затем в двух кластерах справа. Затем сложите пересечения в трех средних кластерах. Последние две цифры окончательного результата определяются по двум кластерам справа от середины, а затем по последней цифре в правом углу.

Если какая-либо из этих сумм является двузначным числом, добавьте первое число к сумме слева (здесь 1 из 14 зачеркнута и добавлена ​​к 8 слева).Теперь прочтите отдельные числа слева направо еще раз, чтобы увидеть конечный результат этого умножения на два трехзначных числа.

3. Принимая во внимание ноль

Если одно из чисел в вашей сумме содержит ноль, не рисуйте линию нуля на бумаге. В качестве альтернативы, для ясности, вы можете нарисовать линию другим цветом, но любые точки пересечения, включая эту линию, не будут учитываться.

Если бы все математические трюки так легко запоминались! Когда он был изобретен, вместо линий, нарисованных на бумаге, использовались палочки для еды.Но это не имеет значения, с палочками для еды или без, это все равно значительно упрощает задачу, потому что вы визуализируете проблему, и вам нужно только сложить, а не умножать!

Как быстро умножить большие числа | by Maths and Musings

Алгоритм Тоома-Кука

Здесь мы узнаем о гениальном применении алгоритма «разделяй и властвуй» в сочетании с линейной алгеброй для быстрого умножения больших чисел. И введение в нотацию с большим О!

На самом деле этот результат настолько противоречит интуиции, что великий математик Колмогоров предположил, что такого быстрого алгоритма не существовало.

Часть 0: Длинное умножение — это медленное умножение. (И введение в нотацию Big-O)

Мы все помним, как в школе учились умножать. На самом деле, я должен признаться. Помните, это зона без суждения 😉

В школе у ​​нас была «игра по мокрой дороге», когда шел дождь, слишком сильный для игры на детской площадке. В то время как другие дети (нормальные / веселые / позитивно-избранные) играли в игры и возились, я иногда брал лист бумаги и умножал большие числа, просто ради удовольствия.Настоящая радость вычислений! У нас даже было соревнование по умножению, «Супер 144», где мы должны были как можно быстрее умножать скремблированные 12 на 12 сетку чисел (от 1 до 12). Я практиковал это неукоснительно до такой степени, что у меня были свои собственные заранее подготовленные практические листы, которые я скопировал, а затем использовал по очереди. В конце концов я сократил свое время до 2 минут и 1 секунды, когда был достигнут мой физический предел каракулей.

Несмотря на эту одержимость умножением, мне никогда не приходило в голову, что мы можем сделать это лучше.Я потратил столько часов на умножение, но никогда не пытался улучшить алгоритм .

Рассмотрим умножение 103 на 222.

Мы вычисляем 2 раза 3 раза 1 +2 раза 0 раз 10 + 2 раза 1 раз 100 + 20 раз 3 раза 1 + 20 раз 0 раз 10 + 20 раз 1 раз 100 = 22800

Как правило, для умножения на n-значные числа требуется O (n²) операция. Обозначение «большой О» означает, что если мы должны графически изобразить количество операций как функцию от n, то значение n² действительно будет иметь значение.(1/3) то же самое? », И их, вероятно, вырвет в чашку с кофе, и они начнут плакать, и бормочут что-нибудь о топологии. По крайней мере, такова была моя реакция (поначалу), а я почти ничего не знаю о топологии.

Ок. Они не одинаковы. Но наш компьютер не заботится о топологии. Компьютеры различаются по производительности во многих отношениях, что я даже не могу описать, потому что я ничего не знаю о компьютерах.

Но настраивать каток нет смысла. Если две функции при больших значениях их входных данных растут на один и тот же порядок величины, то для практических целей это содержит большую часть важной информации.x при x = 100 уже намного превышает количество атомов во Вселенной. (10¹⁰⁰ >>>> 10⁸⁰, что является оценкой, числом Эддингтона, числа атомов во Вселенной согласно моему поиску в Google *).

* на самом деле я использовал DuckDuckGo.

Записывать целые числа как полиномы очень естественно и очень неестественно. Написание 1342 = 1000 + 300 + 40 + 2 очень естественно. Запись 1342 = x³ + 3x² + 4x + 2, где x = 10, немного странно.

В общем, предположим, что мы хотим умножить два больших числа с основанием b на n цифр в каждом.Мы записываем каждое n-значное число в виде многочлена. Если мы разделим n-значное число на r частей, у этого многочлена будет n / r членов.

Например, пусть b = 10, r = 3, и наше число будет 142,122,912

. Мы можем превратить это в

. Это очень хорошо работает, когда r = 3 и наше число, записанное по основанию 10, состояло из 9 цифр. Если r не делит n идеально, мы можем просто добавить несколько нулей впереди. Опять же, лучше всего это проиллюстрировать на примере.

27134 = 27134 + 0 * 10⁵ = 027134, что мы представляем как

Почему это может быть полезно? Чтобы найти коэффициенты многочлена P, если многочлен имеет порядок N, то путем выборки его в N + 1 точках мы можем определить его коэффициенты.

Например, если полином x⁵ + 3x³ + 4x-2, который имеет порядок 5, дискретизируется в 6 точках, мы можем вычислить весь полином.

Интуитивно понятно, что полином 5-го порядка имеет 6 коэффициентов: коэффициент при 1, x, x², x³, x⁴, x⁵. Учитывая 6 значений и 6 неизвестных, мы можем узнать значения.

(Если вы знаете линейную алгебру, вы можете рассматривать различные степени x как линейно независимые векторы, создать матрицу для представления информации, инвертировать матрицу и вуаля )

Полиномы выборки для определения коэффициентов (необязательно)

Здесь мы более подробно рассмотрим логику выборки многочлена для вывода его коэффициентов. Не стесняйтесь переходить к следующему разделу.

Мы покажем, что если два полинома степени N совпадают в N + 1 точках, то они должны быть одинаковыми. Т.е. N + 1 точек однозначно задают полином порядка N .

Рассмотрим полином порядка 2. Он имеет вид P (z) = az² + bz + c . Согласно фундаментальной теореме алгебры — бесстыдство, вставьте сюда, я потратил несколько месяцев, собирая доказательство этого, а затем записывая его здесь — этот многочлен можно разложить на множители.Это означает, что мы можем записать его как A (z-r) (z-w)

Обратите внимание, что при z = r и при z = w полином оценивается как 0 . Мы говорим, что w и r — это корней полинома.

Теперь покажем, что P (z) не может иметь более двух корней. Предположим, у него есть три корня, которые мы называем w, r, s . Затем мы факторизуем многочлен. P (z) = A (z-r) (z-w). Тогда P (s) = A (s-r) (s-w). Это делает не равным 0, так как умножение ненулевых чисел дает ненулевое число.Это противоречие , потому что наше исходное предположение заключалось в том, что s было корнем многочлена P.

Этот аргумент может быть применен к многочлену порядка N по существу идентичным образом.

Теперь предположим, что два полинома P и Q порядка N совпадают по N + 1 точек. Тогда, если они разные, P-Q — это многочлен порядка N , который равен 0 в N + 1 точках.По предыдущему, это невозможно, так как многочлен порядка N имеет не более N корней. Таким образом, наше предположение должно быть ошибочным, и если P и Q совпадают по N + 1 точкам, они являются одним и тем же полиномом.

Увидеть — значит поверить: рабочий пример

Давайте посмотрим на действительно огромное число, которое мы называем p. В базе 10 p состоит из 24 цифр (n = 24), и мы разделим его на 4 части (r = 4). n / r = 24/4 = 6

p = 292 103 243 859 143 157 364 152.

И пусть представляющий его многочлен будет называться P,

P (x) = 292,103 x³ + 243,859 x² +143,157 x + 364,152

с P (10⁶) = p.

Поскольку степень этого полинома равна 3, мы можем вычислить все коэффициенты из выборки в 4 местах. Давайте почувствуем, что происходит, когда мы попробуем это в нескольких точках.

  • P (0) = 364,152
  • P (1) = 1,043,271
  • P (-1) = 172,751
  • P (2) = 3,962,726

Поразительно то, что все они имеют 6 или 7 цифр.Это по сравнению с 24 цифрами, изначально найденными на стр.

Умножим p на q. Пусть q = 124,153,913,241,143,634,899,130 ​​и

Q (x) = 124,153 x³ + 913,241 x² + 143,634 x + 899,130 ​​

Вычисление t = pq может быть ужасным. Но вместо того, чтобы делать это напрямую, мы пытаемся вычислить полиномиальное представление t, которое мы обозначаем T. Поскольку P является полиномом порядка r-1 = 3, а Q — полиномом порядка r-1 = 3, T равно полином порядка 2r-2 = 6.

T (10⁶) = t = pq

T (10⁶) = P (10⁶) Q (10⁶)

Хитрость в том, что мы вычислим коэффициентов T вместо прямого умножения p и q вместе.Тогда вычислить T (1⁰⁶) легко, потому что для умножения на 1 мы просто наклеиваем 6 нулей на спину. Подвести итог по всем частям также легко, потому что добавление — очень дешевое действие для компьютеров.

Чтобы вычислить коэффициенты T, нам нужно выбрать его в 2r-1 = 7 точках, потому что это полином порядка 6. Мы, вероятно, захотим выбрать маленькие целые числа, поэтому мы выбираем

  • T (0) = P ( 0) Q (0) = 364,152 * 899,130 ​​
  • T (1) = P (1) Q (1) = 1,043,271 * 2,080,158
  • T (2) = P (2) Q (2) = 3,962,726 * 5,832,586
  • T (-1) = P (-1) Q (-1) = 172751 * 1544584
  • T (-2) = P (-2) Q (-2) = -1,283,550 * 3,271,602
  • T (3) = P (-3) Q (-3) = –5,757,369 * 5,335,266

Обратите внимание на размер P (-3), Q (-3), P (2), Q (2) и т. д. примерно n / r = 24/4 = 6 цифр.Некоторые из них — 6-значные, некоторые — 7. По мере увеличения n это приближение становится все более и более разумным.

До сих пор мы свели проблему к следующим шагам или алгоритму:

(1) Сначала вычислите P (0), Q (0), P (1), Q (1) и т. Д. (малозатратное действие )

(2) Чтобы получить наши 2r-1 = 7 значений T (x), мы должны теперь умножить 2r-1 числа приблизительного размера n / r цифр. А именно, мы должны вычислить P (0) Q (0), P (1) Q (1), P (-1) Q (-1) и т. Д. ( Действие с высокими затратами )

(3) Восстановить T (x) из наших точек данных.(n / r)) в целом для базы b и длины n]

Это хорошо ведет к анализу времени выполнения этого подхода.

Время выполнения

Из вышеизложенного мы выяснили, что, временно игнорируя действия low cost (1) и (3), стоимость умножения двух n-значных чисел с помощью алгоритма Тоома будет подчиняться:

Это то, что мы видели в отработанном примере. Умножение каждого P (0) Q (0), P (1) Q (1) и т.д. стоит T (n / r), потому что мы умножаем два числа длины приблизительно n / r.Мы должны сделать это 2r-1 раз, так как мы хотим выбрать T (x) — многочлен порядка 2r-2 — в 2r-1 местах.

Насколько это быстро? Мы можем решить подобные уравнения явно.

Теперь все, что осталось, — это беспорядочная алгебра

Поскольку были некоторые другие затраты, связанные с процессом матричного умножения (‘повторной сборки’) и сложением, мы не можем сказать, что наше решение является точным временем выполнения, поэтому вместо этого мы заключаем что мы нашли большой O среды выполнения

Оптимизация r

Эта среда выполнения все еще зависит от r.Исправьте r, и все готово. Но наше любопытство еще не удовлетворено!

По мере того, как n становится большим, мы хотим найти приблизительно оптимальное значение для нашего выбора r. Т.е. мы хотим выбрать значение r, которое изменяется для разных значений n.

Ключевым моментом здесь является то, что при изменении r нам нужно обратить внимание на стоимость повторной сборки — матрица, которая выполняет эту операцию, имеет стоимость O (r²). Когда r было фиксированным, нам не нужно было на это смотреть, потому что, когда n увеличивалось при фиксированном r, именно члены, включающие n, определяли рост количества требуемых вычислений.Поскольку наш оптимальный выбор r будет увеличиваться с увеличением n, мы больше не можем игнорировать это.

Это различие очень важно. Первоначально наш анализ выбрал значение r, возможно, 3, возможно, 3 миллиарда, а затем посмотрел на размер большого O, когда n выросло на произвольно большим. Теперь мы смотрим на поведение, когда n становится произвольно большим и r растет с n с некоторой скоростью, которую мы определяем . Это изменение перспективы рассматривает O (r²) как переменную, тогда как, когда r оставалось фиксированным, O (r²) было константой, хотя мы и не знали.

Итак, мы обновляем наш анализ по сравнению с предыдущим:

, где O (r²) представляет собой стоимость матрицы повторной сборки. Теперь мы хотим выбрать значение r для каждого значения n, что приблизительно минимизирует это выражение. Чтобы свести к минимуму, сначала попробуем дифференцировать по r. Это дает несколько отвратительно выглядящее выражение

Обычно, чтобы найти точку минимума, мы устанавливаем производную равной 0. Но это выражение не имеет хорошего минимума. Вместо этого мы находим «достаточно хорошее» решение.sqrt (logN), которое было нашим предполагаемым значением. «X» заменяет «r», и на каждом из трех изображений используется различное значение N.

графиков, сделанных с помощью Desmos.com

Меня довольно убедило, что наш выбор был удачным. С таким выбором r мы можем подключить его и посмотреть, как наш алгоритм получает окончательный большой O:

, где мы просто вставили наше значение для r и использовали приближение для log (2r-1) / log (r), которое очень точен для больших значений r.

Возможно, я не заметил этого алгоритма, когда был маленьким мальчиком и делал умножение, было разумным.На приведенном ниже графике я даю коэффициент нашей функции большого O равный 10 (для демонстрационных целей) и делю его на x² (поскольку исходный подход к умножению был O (n²). Если красная линия стремится к 0, значит будет показывать наше новое время работы асимптотически работает лучше, чем O (n²).

И действительно, хотя форма функции показывает, что наш подход на , в конечном итоге на быстрее, и в конечном итоге на намного быстрее, мы должны подождите, пока у нас не будет почти 400-значных чисел, чтобы это имело место! Даже если бы коэффициент был всего 5, числа должны были бы состоять примерно из 50 цифр, чтобы увидеть улучшение скорости.

Для моего 10-летнего «я» умножение 400-значных чисел было бы непростой задачей! Отслеживание различных рекурсивных вызовов моей функции также было бы несколько сложной задачей. Но для компьютера, выполняющего задачу в области искусственного интеллекта или физики, это обычная проблема!

Что мне нравится в этой технике, так это то, что она , а не ракетостроение . Это не самая ошеломляющая математика, которую когда-либо можно было открыть. Оглядываясь назад, возможно, это кажется очевидным!

И все же в этом блеск и красота математики. Я читал, что Колмогоров на семинаре выдвинул гипотезу о том, что умножение — это, по сути, O (n²). Колмогоров в основном изобрел множество современной теории вероятностей и анализа. Он был одним из величайших математиков 20 века. Тем не менее, когда дело дошло до этой несвязанной области, оказалось, что целый массив знаний, ждущих своего открытия, сидит прямо у него и у всех под носом!

Фактически, алгоритмы Divide and Conquer приходят сегодня на ум довольно быстро, поскольку они так широко используются.Но они являются продуктом компьютерной революции, поскольку человеческий разум сосредоточился именно на скорости вычислений как области математики, достойной изучения как таковой, только благодаря огромной вычислительной мощности.

Вот почему математики не хотят просто признать, что гипотеза Римана верна только потому, что кажется, что она может быть правдой, или что P не равно NP только потому, что это кажется наиболее вероятным. Прекрасный мир математики всегда сохраняет способность опровергать наши ожидания.

Share Post:

About Author

alexxlab

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *